montrer que ker et im sont supplémentaires

Montrer qu'il existe un endomorphisme v de E tel que u ∘ v = 0 et u + v ∈ GL(E) si, et seulement si, les espaces Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires. Exercices théoriques sur les applications linéaires. 4. Donner une condition nécessaire et suﬀisante pour que Ker(f) = Ker(g). Bibm@th.net. Surjective? 6. 2. Prouver que Ker 2 =Ker f,Im \ f0 Eg. 3. 37. Montrer que si u = 0E alors la famille C = (u, f (u), f 2 (u)) est libre. Système de projecteurs associé. En d eduire que kerf et Im fsont deux sous-espaces vectoriels suppl ementaires. Correction H [005193] Exercice 12 ***I Soient K un sous-corps de C, E un K-espace vectoriel de dimension quelconque sur K et f un endomorphisme de E vériﬁant f2 5f +6Id E =0. Soit x∈E. L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on prouve que Ker f et Im f sont des sous espaces vectoriels, lorsque f est une application linéaire***Découvrez les autr. Sujet : [MPSI] Ker f et Im f supplémentaires. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) Im f et ker f supplémentaires dans E (ii) E = Im f + ker f (iii) Im f 2 = Im f (iv) ker f 2 = ker f . Pour toute cette question, on suppose que k 0. a) Montrer que uv + vu = 0 implique uv vu = 0. b) A quelle condition nécessaire et suffisante u + v appartient-il à Ak ? Démontrer que Φ est un projecteur. On procède par analyse et synthèse pour prouver qu'il existe un unique ( , )y z∈ker( ) Im( )f × g tel que x=y z+. Montrer que Im(f) et ker(g) sont supplémentaires dans E. b. Justifier que : f(Im(g)) = Im(f). Montrer que Ker f = Kerf2. 1.5 Projecteurs Soit fun endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension nie n. On suppose que rg (f)+rg (Id E −f) ≤ n. Montrer que fest un projecteur de E . Correction :Notons B = AT. Nous proposons des exercices corrigés sur les matrices semblables. Soit y= f(x) 2Imf. Remarque : u -1 (G) signifie ici image réciproque de G par u. 4. ker ( f) = { ( x, y, z, t) ∈ R 4, x + 2 y + z = 0 et x + 3 y − t = 0 }. Or a étant non nul, on montre. Montrer que ker(f) et Im(f) sont supplémentaires. Montrer qu'il existe f ∈ L(E) tel que ker(f) = Im(f) si et seulement si E est de dimension paire. Par double inclusion, on a montré que ker(p+q) = kerp∩kerq Donc p+qest le projecteur sur Im (p)+Im (q) parallèlement à kerp∩kerq ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ 2. Montrer qu'il existe un automorphisme gde Eet un projecteur pde Etels que f= g p. 2. Montrer E=kerf)( ⊕ g)(Im. Comparer ker(fp) ker. 2M371 - Algèbre linéaire 2 Université Pierre et Marie Curie Mathématiques Année 2016/2017 Corrigé du devoir maison no 2 Partie I. Caractérisations des projections et symétries. xs' ecrit (de mani ere unique) x= a 1w 1 + + a rw r+ b 1v 1 + + b n rv n r. En utilisant la lin earit e de fet le fait que les w iappartiennent a Ker f, on obtient que yest combinaison lin eaire des f(v i) donc B engendre Imf. Si on reviens à la définition de sous-espaces supplémentaires dans un espace de dimension finie il faut montrer que K e r ( f) et I m ( f) vérifie les conditions d i m K e r ( f) + d i m I m ( f) = d i m R 3 et K e r ( f) ∩ I m ( f) = { 0 R 3 }. 38. Montrer qu'il existe un automorphisme gde Eet un projecteur pde Etels que f= g p. 2. Alors E i et F i sont supplémentaires. L'endomorphisme s'ecrit u(p)= P+(1-X)P' avec P étant un polynome de 3 J'ai une base de ker et Im de u , ensuite on me demande de montrer que le noyau et l'image sont supplémentaires. On procède par analyse et synthèse pour prouver qu'il existe un unique ( , )y z∈ker( ) Im( )f × g tel que x=y z+. ker(f) = {(x, y, z, t) ∈ R4, x + 2y + z = 0 et x + 3y − t = 0}. 19.24 Etude d'un endomorphisme de n [X] Soient n *, et f: n [X]→ [X] qui, à tout polynôme P associe le polynôme Q défini par : Q(X) = P(X + 1) + P(X - 1) - 2P(X). Montrer que f(Ker(g f)) = Kerg∩Imf. Indication Corrigé Montrer E=kerf)( ⊕ g)(Im. 38. (d) Même question avec les espaces images. 5. Montrer que Im(f ) et ker(g) sont supplémentaires dans E. b. Justifier que : f (Im( g)) =Im( f ). CNS pour que Kerfet Imfsoient supplémentaires Soit Eun ev de dimension ﬁnie et f . 1. Exercice 8 3462 . Préciser les éléments caractéristiques de Φ. Exercice . Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E. Exercice 5 : image ; noyau ; somme de sous-espaces vectoriels Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E. 1) Démontrer l'équivalence : ker u Im u ={0}⇔ker u =ker u2 r I 2) Démontrer l'équivalence : E =ker u +Im u ⇔Im u =Im u2 3) Si E est de dimension finie et si Im u =Im u2, montrer que la somme . Cet ensemble contient F. En e⁄et, si f2F;alors f= f+02F+Gcar 02G:Ainsi . Montrer que : (u-1(u(F)) = u(u (F))) ⇔ (ker(u) ⊂ F ⊂ Im(u)). Re: Projecteur, noyau et image. Montrons que B est une base de Imf. AmiensSCFoot MP. f αx( . Montrons que B est une famille . 3. Montrer que, 8n > 1, f n= 2nr + ( 1) s. En déduire l'expression de . Exercice 30. Actualiser. Énoncé détaillé -Corrigé On se pose la question de savoir si kerf et imf sont supplémentaires. b) Justifier que f (Im g ) = Im f . b. Soit Q Im f. Prouver que Q admet par f un unique antécédent P tel que P(0 . Pour commencer, je dois d'abord dire si l'intersection est réduit au vecteur nul, mais j'ai déjà du mal avec ça. Solution L'ensemble des vecteurs fixes par p {\displaystyle p} est le plan F {\displaystyle F} d'équation 3 x + y − z = 0 {\displaystyle 3x+y-z=0} et le vecteur normal 3 e 1 + e 2 − e 3 {\displaystyle 3e_{1}+e_{2}-e_{3}} appartient à ker ⁡ p {\displaystyle \ker p} . On considère comme un espace vectoriel réel et f l'application définie sur par 1, 22 i z f z z z. a. Montrer que f est un endomorphisme de . - Im A correspond à l'ensemble des seconds membres tel que le système linéaire . 2.Soit u un endomorphisme nilpotent. Répondre. Fixons i dans I et posons . Montrer que les espaces Ker . Soit E un K-espace vectoriel et f un . Soient F et G des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de dimension finie n. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes : • ∃ u ∈ L(E), tel que : Im(u) = F, et : ker(u) = G, Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F et G sont supplémentaires dans E. Préciser le projeté d'un vecteur x de E sur F parallèlement à G et sur G parallèlement à F. Correction H [005565] Exercice 4 ** Les familles suivantes de R4 sont-elles libres ou liées? (i) ⇒ (ii) : ok (ii) ⇒ (iii . On veut montrer que cet endomorphisme est diagonalisable. sont échelonnés. c) Conclure. que F et G sont supplémentaires puis déterminer l'expression de la projection sur F parallèlement à G puis de la symétrie par rapport à G parallèlement à F. Exercice 19 : Identiﬁer les applications suivantes (projecteurs ou symétries), puis déterminer leurs élé- Soient u et v deux endomorphismes de A/c. ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 , Φ(x) = x − (x1 + x2 + x3)v. 1. Bibm@th.net. Bibm@th. (b) Établir la même propriété avec les espaces images. * (c'est 0 F encore) et il n' y a pas égalité: tu confonds Ker(f) et Im(f) (même si toi tu penses à l'intersection des deux je suppose); * que signifie la lettre U ? Théorème (Caractérisation des projecteurs) Supposons p 2 L(E) .Alors: p projecteur, p p = p: Dans ce cas Imp et Kerp sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E et p est le projecteur sur Imp = Ker(p IdE) parallèlement à Kerp.Preuve -): supposons que p est un projecteur. Je pense qu'on doit d'abord montrer que que $kerf \cap Img = 0$ mais je ne sais pas comment procéder. Soit x∈E. Im A ˘{Y 2Mn,1(K) , 9X 2Mp,1(K),Y ˘ AX} ˘{AX, X 2Mp,1(K)} Déﬁnition 5 Remarque : † Ker A et Im A s'interprète en termes de systèmes linéaires : - Ker A correspond à l'ensemble des solutions du système linéaire homogène associé à A. Soit λ valeur propre En considérant la matrice de u dans une base adaptée à la supplémentarité de ker (u−λId) et Im (u−λId) on a : X (u)=. 2. 2. (a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. (b) Montrer que s est la symétrie vectorielle par rapport à F et parallèlement à G. Plus généralement, soient 2K nf1get f un endomorphisme de E tel que f2( + 1)f + Id = 0. Montrer : p f= f p⇔ Ker(p) et Im(p) sont stables par f. Exercice 16: Soient F et G des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel . Montrer que Φ est un endomorphisme de R 3 . Soit v = (v1, v2, v3) ∈ R 3 vérifiant v1 + v2 + v3 = 1. Commençons par montrer que Im et Ker sont supplémentaires, c'est-à-dire que Im Ker. Sous-espace supplémentaire. Réciproquement, si , nous allons montrer que est la projection sur Im parallèlement à Ker. a. Montrer que Eα est un -espace vectoriel pour les lois habituelles. Exercice 6 1716 Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum AD MP2I LycØe . 12 mars 2012 à 22:09:06 . 2. b) Lorsque k 0, montrer que Ker(u) et Im(u) sont supplémentaires. Montrer que (u,v) est une base de L. Exercice 15: 1. Que dire de Im(u) et Ker(u) lorsque k = 0? Montrer que pour tout k 6 n, on a dim Keru = k. Exercice 21.19 Soit Eun espace vectoriel de dimension ﬁnie, et soient u;vdeux endomorphismes de tels que AD E = Im u +Im v = Ker u +Ker v . = @ 1 x 2 x 3 x 4 1: 24! Bonsoir, tu ne peux pas "calculer" ker et Im car ce ne sont pas des fonctions. Ainsi, Tr(AAT) = Xn i=1 n k=1 a2 i,k. Exercice 19.24 Soit Eun espace vectoriel, et soit f2L . Par déﬁnition, on a donc b i,j = a j,i. (u,v) appartenant à kerf * H tel que u+v= x apartenant à E, et si f (H) est inclus dans H alors H= Im f Je fais la démonstration en free style en direct, aucun brouillon. Soit E un espace vectoriel et f,g deux projecteurs de E. ‚‚˝ 1. 3. Montrer que Im et Ker sont stables par . Observons que pour tout , donc Ker. Montrer que, si Ker⁡(fp)=Ker⁡(fp+1), alors Ker⁡(fp)=Ker⁡(fp+k)pour tout k∈ℕ. 38. )}. Donc (X 3 (X−1) , 2 X 2 (X−1) ) 2 est une base de ker ( )f. Exercice 3 : soit ,gf ∈ EL )( telles que fgf =fet gfg =g. et que si z ∈ I m p alors f ∘ p ( z) = p ∘ f ( z). Montrer que Φ est un endomorphisme de R 3 . Les deux dernières questions sont aussi faciles, mais pour que les écritures fog et gof aient un sens, il faut supposer F=E, c'est à dire que f et g soient deux . Démontrer que Φ est un projecteur. 5. C'est donc la . Préciser les éléments caractéristiques de Φ. Exercice 26. (b) Montrer que l'endomorphisme f est de rang pair. 2) Inversement, soit p un projecteur de E. On pose F = ker p et G = Im p. Montrer que F et G sont supplémentaires. 2. Sujet : [MPSI] Ker f et Im f supplémentaires. Soit E un espace vectoriel et f ∈ L (E) un endomorphisme de E vérifiant la relation f 3 = 0L (E). b) On suppose maintenant que Ker f ̸= {0}. Analyse : Soit un tel couple ( , )y z∈ . Montrer que Im (f − IdE) ⊂ Ker (f 2 + f + IdE). Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum Prouver que Im u et Im v sont supplémentaires dans E, et que Ker u et Ker v sont supplémentaires dans E. Exercice 21.20 Soient F ça n'a pas de sens et c'est confus comme on avait dit. Montrons que $Kerf$ et $Img$ sont supplémentaires. Soient X = ( x, y, z) X = ( x, y, z) et X ′ = ( x ′, y ′, z ′) X ′ = ( x ′, y ′, z ′) éléments de E 1 E 1 . Supplémentaire d'un hyperplan Soit Eun K-ev et f: E→ K une forme linéaire non identiquement nulle. c. Montrer que Ker f Im f 3 puis déterminer la symétrie s par rapport à parallèlement à . a. Montrer que f est un endomorphisme de n [X]. Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum 1) Montrer que Imf= K. 2) Soit u∈ E\Het F= vect(u). salut à tous, j'ai un exo d'algèbre linéaire . On peut donc définir p i la projection sur E i parallèlement à F i. Montrer que E =Ker(f 2Id . Montrer que est une projection orthogonale et préciser sa « base » ⁡. Si vous ne parvenez pas à prouver que ce sont des sous-espaces vectoriels, essayez de trouver un contre-exemple à une des propriétés requises. que les trois vecteurs 3 2 , 5 4 , 7 6 sont les images par f de la base canonique. b. Pour un réel x, montrer la convergence de la suite définie par : ∀ n ∈ , ∏ = = − n k . Suite des noyaux et des images itérés.Soient E un K-espace vectoriel de dimension ﬁnie n Ê1 et u ∈L(E).Pour k ∈N, on pose ik =rguk et dk =dimKeruk.Montrer qu'il existe un plus petit rang k0 ∈[[0,n]] tel que (ik)k∈N et (dk)k∈N soient toutes deuxstrictement monotones jusqu'au rangk0 et stationnaires ensuite, etque Imuk0 ⊕Keruk0 =E. b) Justifier que f (Im g ) = Im f . Soit E E un espace vectoriel, f∈L(E) f ∈ L ( E), et 1≤ p≤ q 1 ≤ p ≤ q deux entiers. (a)Montrer que fest inversible et exprimer son inverse en fonction de f. (b)Établir que Ker(f Id) et Ker(f 2Id) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Exercice 14 [ 01754 ] [Correction] Soient fet gdeux endomorphismes d'un K-espace vectoriel Evéri ant f g= Id; montrer que Kerf= Ker(g f), Img= Im(g f) puis que Kerfet Imgsont Exercice 11 - Application linéaire à contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] . Exercice 25. b. Déterminer ff. Bijective? dim Keru k= 1. 1. Montrer que F⊕H= E. Exercice 31. Bonjour à tous ! Exercice 39 [ 01754 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d'un K-espace vectoriel E vérifiant f g = Id ; montrer que ker f = ker(g f), Im g = Im (g f) puis que ker f et Im g sont supplémentaires. Déterminer son noyau, son rang et son image. Montrer que f est une application linéaire (en revenant vraiment à la dé nition). Fournir des relations de dépendance linéaire quand ces Montrer que Im(f) = Im(g) si et seulement si f ˝g = g et g ˝f = f. 2. On montre par récurrence que a n,b n,c n et d n sont positifs, ce qui merpet de conclurepuisquea −b≥0 etc−d≥0. AmiensSCFoot MP. Exercice 19. Analyse : Soit un tel couple ( , )y z∈ . Alors d'après le théorème précédent p p = p. (: supposons que p p = p. . La famille (p i . 1) Déterminer ker f et Im f (en donner des bases) et montrer que ce sont des sevs supplémentaires de R^3. Cet ensemble contient F. En e⁄et, si f2F;alors f= f+02F+Gcar 02G:Ainsi . Transformations vectorielles Exercice 39 Soit E un K -espace . Montrer que ker(f) = ker(f2) Imf ⊕ ker(f) = E Im(f) = Im(f2). Bibm@th.net. : 1 2 3 4 On cherche à prouver que: si il existe ! ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 4 On note E = C∞(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de classe C∞ de Rdans R. Pour toute fonction y de E, on note D(y) = y′ sa fonction dérivée. Solution . Nouveau sujet Liste des sujets. Exercice 3 : Quepeut-ondired'unematricequivériﬁeTr(AAT) = 0? Exercice 6 - Inclusion de noyaux et d'images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé. Correction de l'exercice 1 1) Ecrivons les el ements de R4 et R2 en colonne. En général c'est facile mais j'ai du mal à comprendre les supplémentaires quand c'est plus concret. Montrer que L et M sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de ℒ ⁢ (E). Exercice 25. de R 3. dans R 3 définie par. Montrer que Ker(f) = Ker(g f) et Im(g f) = Im(g). Bibm@th. Im(f) est l'ensemble des y $\in$ l'ensemble d . Donc (X 3 (X−1) , 2 X 2 (X−1) ) 2 est une base de ker ( )f. Exercice 3 : soit ,gf ∈ EL )( telles que fgf =fet gfg =g. Accueil Lycée Supérieur Bibliothèques Références Thèmes Forum On note H= Kerf. On pose r = 1 6 (f2 +f) et s = 1 3 (f2 2f), montrer que r et s sont des projecteurs, et que f r = 2r et f s = s. 7. Soient Eun K-ev de dimension ﬁnie, f ∈ L(E). Montrer que Ker(f) = Ker(g f) et Im(g f) = Im(g). Soit p la projection sur Im(f) parallèlement à ker(f), donner l'expression de p(x;y;z). Si Im Ker, alors il . Donc L'image de l'application lin´eaire f est le sous-espace vectoriel de R2 engendr´e par les images par f de la base canonique. Soit u endomorphisme d'un -espace vectoriel E de dimension finie n ≥ 2. Dans 4, soit u = (x,y,z,t) un élément de Im (f) Ker (f). Montrer que Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires dans E. Exercice 18. Remarque : u-1(G) signifie ici image réciproque de G par u. a) Montrer que si ker f admet un supplémentaire H stable par f (i.e f (H) est inclus dans H) alors H = Im f Voilà ce que j'ai trouvé. Soit F = { (x, y, z) ∈ R 3 | x + 2y − z = 0} et G = V ect ( (1, 1, 2)). On suppose que Ker f = Kerf2. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Les espaces Ker ⁡ (f) et Im ⁡ (f) sont-ils supplémentaires? 1) a.Soit p une projection de E; il existe alors F et G deux sous-espaces supplémentaires de E tels que p soit la projection de E sur F parallèlement à G.L'application p étant déﬁnie sur E et à . salut à tous, j'ai un exo d'algèbre linéaire . Solution φ : u ↦ u ∘ p est un endomorphisme de ℒ ⁢ ( E ) donc L = Im ⁡ ( φ ) est un sous-espace vectoriel de ℒ ⁢ ( E ) . Montrer que un =0. Montrer que Im(f) et ker(g) sont supplémentaires dans E. b. Justifier que : f(Im(g)) = Im(f). Bibm@th. Ker ⁡ (f 2-3 ⁢ a ⁢ f + a 2 ⁢ Id) ⊂ Im ⁡ (f) tandis . Actualiser. Vérifier que l'image et le noyau de f sont supplémentaires. 12 mars 2012 à 22:09:06 . Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que : (u -1 (u(F)) = u(u -1 (F))) ⇔ (ker(u) ⊂ F ⊂ Im(u)). 37. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur de l'espace se décompose de façon unique en une somme de vecteurs de chacun des deux sous-espaces. i) Montrer que : Ker(f − µ1I) ⊂ Ker(f2 . En effet, on donne des méthodes pratiques pour démontrer que deux matrices sont semblable. On considère l'application Φ de R 3. dans R 3 définie par. Soit f l'application définie sur 3>X@ par > @ P X f P X . 1) Démontrer que Im (g) et Ker (f) sont supplémentaires dans E 2) Si E est de dimension finie, comparer les rangs de f et de g (Je commence tout juste ce chapitre, je n'ai que très peu de notions) Soit Eun K-ev,pun projecteur de E,f∈ L(E). Soit (E i), i dans I, des sous-espaces vectoriels de E qui sont en somme directe et tels que . Notons C= AB.Nousavonsalors c i,j = Xn k=1 a i,ka j,k etdoncc i,i = Xn k=1 a2 i,k. Exercice 29. En déduire la nature de et préciser ses éléments caractéristiques. En fait ker(f) représente l'ensemble des vecteurs x de l'ensemble de départ qui ont pour image le vecteur nul: $\forall$ x $\in$ ker(f), f(x)=0.L'ensemble des x forme un sous espace vectoriel de l'ensemble de départ. Calculer f2(x;y;z) et f3(x;y;z), et véri er que f3 f2 2f = 0. PD Exercice 19.23 Projecteurs associés AD Soientp etq deux projecteurs d'un espace vectoriel E tels quep +q = id E. Montrer que E = Imp Imq. Mais qui sont ces vecteurs? En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, le théorème du rang lie le rang d'une application linéaire et la dimension de son noyau.C'est un corollaire d'un théorème d'isomorphisme.Il peut être interprété par la notion d'indice d'application linéaire. Préciser le rang de f. J'ai donc résolu le système : 2e1-e2-e3=0 -e1+2e2-e3=0 -e1-e2+2e3=0 J'arrive à e1=e2=e3 et à Ker (f)= (1,1,1) Indication Corrigé Exercice 7 - Noyau égal à l'image [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit E un espace vectoriel de dimension finie. 1. (c) Donner un exemple d'endomorphisme fpour lequel il n'existe pas d'entiers ptels que Ker⁡(fp)=Ker⁡(fp+1). Je cherche à démontrer que si p est un projecteur de E (ie p²=p) alors Kerp et Im p sont des sous espaces de E supplémentaires. Application linéaire : projecteur, supplémentaires. Soient F et G des sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel . a) Montrer que Im f et ker g sont supplémentaires dans E . de E. p est un un projecteur si p² = p. Montrer que p est un projecteur. Montrer que ker(f) et Im(f) sont supplémentaires. a) Etablir que si´ µ est une valeur propre de f alors µ2 est une valeur propre de f2. Exercice 2. Montrer que Ker f et Im f sont supplémentaires. Donc f (u) = 0 et u = f (y). Montrer : p f= f p⇔ Ker(p) et Im(p) sont stables par f. Exercice 16: J'ai un exercice où je dois determiner si Im (f) et Ker (f) sont supplémentaires, sachante que f est un endomorphisme. On a : f 0 B B B @ x 1 1 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4! Soit E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que : (u -1 (u(F)) = u(u -1 (F))) ⇔ (ker(u) ⊂ F ⊂ Im(u)). 2. Nouveau sujet Liste des sujets. Soit p la projection sur Im(f) parallèlement à ker(f), donner l'expression de p(x;y;z). Projection et symétrie. Remarque : u -1 (G) signifie ici image réciproque de G par u. Montrer que (u,v) est une base de L. Exercice 15: 1. 1. Pour : α ∈ ]-1,+1[, on considère l'ensemble : Eα= {f 0∈ C ( , ), ∀ x ∈ , f x( ) =(1 −x). sont échelonnés. 3.On suppose dans cette question que u est nilpotent d'indice n. Déterminer rgu. Répondre. Montrons que B engendre Imf. Edité par Edmeral 3 février 2013 à 19:37:33 On peut toujours écrire . Soit f ∈ L(R) tel que f 2 − 3f + 2IR = 0. a) Montrer que f est inversible et déterminer f − . Bibm@th. et de Gl™ensemble, notØ F+G;des vecteurs qui sont la somme d™un vecteur de Fet d™un vecteur de G: F+G= fu2E/ u= f+g;f2F;g2Gg: En d™autres termes, les vecteurs de la somme F+Gsont caractØrisØs par u2F+G()9f2F;9g2G tels que u= f+g: (1) Remarque 1 La somme F+ Gdes sous-espaces vectoriels Fet Gest donc un ensemble. Si on ´ecrit f := (x,y,z) 7→x 3 2 +y 5 4 +z 7 6 on voit (?) b) Soit λ une valeur propre non nulle de f2, et µ1,µ2 ses deux racines carr´ees complexes. Soient Eun K-ev de dimension ﬁnie, f ∈ L(E). Corrigé. Soit Eun K-ev,pun projecteur de E,f∈ L(E). Dans ce cas, Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires, et p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p). Déterminer l'image et le noyau de f. L'application f est-elle injective? et de Gl™ensemble, notØ F+G;des vecteurs qui sont la somme d™un vecteur de Fet d™un vecteur de G: F+G= fu2E/ u= f+g;f2F;g2Gg: En d™autres termes, les vecteurs de la somme F+Gsont caractØrisØs par u2F+G()9f2F;9g2G tels que u= f+g: (1) Remarque 1 La somme F+ Gdes sous-espaces vectoriels Fet Gest donc un ensemble. En dimension finie, il permet notamment de caractériser l'inversibilité d'une application linéaire ou d'une . 3. 9) Montrer que l'intersection de kerfet Im fest r eduite au vecteur nul. P = X ⁢ (X 2-3 ⁢ a ⁢ X + a 2) est annulateur de f. Par le théorème de décomposition des noyaux, E = Ker ⁡ (f) ⊕ Ker ⁡ (f 2-3 ⁢ a ⁢ f + a 2 ⁢ Id) car X et X 2-3 ⁢ a ⁢ X + a 2 sont premiers entre eux. Bibm@th.net. Pour vérifier que la somme est directe, nous devons montrer que l'intersection de l'image et du noyau est réduite au vecteur nul. On suppose que E et {0 E} sont les seuls 1 1 1 En dimension finie, un endomorphisme d'un espace complexe admet au moins une valeur propre et donc . On note idE l'endomorphisme identité de E, et on rappelle que D0 = idE et ∀n ∈ N,Dn+1 = D Dn.Ainsi par exemple, si y ∈ E, D3(y) = y′′′ désigne la dérivée . 2. Exercice 19.22 Soient f; g2L E tels que = . Et le tour . 2 TD-6.5. On pose F = ker(f Id) et G = ker(f Id). Maintenant, tu as x élément quelconque de E, et tu écris x = y + z avec y et z respectivement dans k e r p et I m p. f ∘ p ( x) = f ∘ p ( y + z) = f ∘ p ( y) + f ∘ p ( z) = p ∘ f ( y) + p ∘ f ( z) = p ∘ f ( y + z) = p ∘ f ( x).
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